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A gambling strategy where the amount is raised until a person wins or becomes
insolvent
A martingale is a class of 👄 betting strategies that originated from and were
popular in 18th-century France. The simplest of these strategies was designed for a
👄 game in which the gambler wins the stake if a coin comes up heads and loses if it comes
up 👄 tails. The strategy had the gambler double the bet after every loss, so that the
first win would recover all 👄 previous losses plus win a profit equal to the original
stake. Thus the strategy is an instantiation of the St. 👄 Petersburg paradox.
Since a
gambler will almost surely eventually flip heads, the martingale betting strategy is
certain to make money for 👄 the gambler provided they have infinite wealth and there is
no limit on money earned in a single bet. However, 👄 no gambler has infinite wealth, and
the exponential growth of the bets can bankrupt unlucky gamblers who choose to use 👄 the
martingale, causing a catastrophic loss. Despite the fact that the gambler usually wins
a small net reward, thus appearing 👄 to have a sound strategy, the gambler's expected
value remains zero because the small probability that the gambler will suffer 👄 a
catastrophic loss exactly balances with the expected gain. In a casino, the expected
value is negative, due to the 👄 house's edge. Additionally, as the likelihood of a string
of consecutive losses is higher than common intuition suggests, martingale strategies
👄 can bankrupt a gambler quickly.
The martingale strategy has also been applied to
roulette, as the probability of hitting either red 👄 or black is close to 50%.
Intuitive
analysis [ edit ]
The fundamental reason why all martingale-type betting systems fail
is that 👄 no amount of information about the results of past bets can be used to predict
the results of a future 👄 bet with accuracy better than chance. In mathematical
terminology, this corresponds to the assumption that the win–loss outcomes of each 👄 bet
are independent and identically distributed random variables, an assumption which is
valid in many realistic situations. It follows from 👄 this assumption that the expected
value of a series of bets is equal to the sum, over all bets that 👄 could potentially
occur in the series, of the expected value of a potential bet times the probability
that the player 👄 will make that bet. In most casino games, the expected value of any
individual bet is negative, so the sum 👄 of many negative numbers will also always be
negative.
The martingale strategy fails even with unbounded stopping time, as long as
👄 there is a limit on earnings or on the bets (which is also true in practice).[1] It is
only with 👄 unbounded wealth, bets and time that it could be argued that the martingale
becomes a winning strategy.
Mathematical analysis [ edit 👄 ]
The impossibility of winning
over the long run, given a limit of the size of bets or a limit in 👄 the size of one's
bankroll or line of credit, is proven by the optional stopping theorem.[1]
However,
without these limits, the 👄 martingale betting strategy is certain to make money for the
gambler because the chance of at least one coin flip 👄 coming up heads approaches one as
the number of coin flips approaches infinity.
Mathematical analysis of a single round [
edit 👄 ]
Let one round be defined as a sequence of consecutive losses followed by either
a win, or bankruptcy of the 👄 gambler. After a win, the gambler "resets" and is
considered to have started a new round. A continuous sequence of 👄 martingale bets can
thus be partitioned into a sequence of independent rounds. Following is an analysis of
the expected value 👄 of one round.
Let q be the probability of losing (e.g. for American
double-zero roulette, it is 20/38 for a bet 👄 on black or red). Let B be the amount of
the initial bet. Let n be the finite number of 👄 bets the gambler can afford to lose.
The
probability that the gambler will lose all n bets is qn. When all 👄 bets lose, the total
loss is
∑ i = 1 n B ⋅ 2 i − 1 = B ( 2 👄 n − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}B\cdot
2^{i-1}=B(2^{n}-1)}
The probability the gambler does not lose all n bets is 1 − 👄 qn. In
all other cases, the gambler wins the initial bet (B.) Thus, the expected profit per
round is
( 1 👄 − q n ) ⋅ B − q n ⋅ B ( 2 n − 1 ) = B ( 👄 1 − ( 2 q ) n ) {\displaystyle
(1-q^{n})\cdot B-q^{n}\cdot B(2^{n}-1)=B(1-(2q)^{n})}
Whenever q > 1/2, the expression
1 − (2q)n 👄 < 0 for all n > 0. Thus, for all games where a gambler is more likely to lose
than 👄 to win any given bet, that gambler is expected to lose money, on average, each
round. Increasing the size of 👄 wager for each round per the martingale system only
serves to increase the average loss.
Suppose a gambler has a 63-unit 👄 gambling bankroll.
The gambler might bet 1 unit on the first spin. On each loss, the bet is doubled. Thus,
👄 taking k as the number of preceding consecutive losses, the player will always bet 2k
units.
With a win on any 👄 given spin, the gambler will net 1 unit over the total amount
wagered to that point. Once this win is 👄 achieved, the gambler restarts the system with
a 1 unit bet.
With losses on all of the first six spins, the 👄 gambler loses a total of
63 units. This exhausts the bankroll and the martingale cannot be continued.
In this
example, the 👄 probability of losing the entire bankroll and being unable to continue the
martingale is equal to the probability of 6 👄 consecutive losses: (10/19)6 = 2.1256%. The
probability of winning is equal to 1 minus the probability of losing 6 times: 👄 1 −
(10/19)6 = 97.8744%.
The expected amount won is (1 × 0.978744) = 0.978744.
The expected
amount lost is (63 × 👄 0.021256)= 1.339118.
Thus, the total expected value for each
application of the betting system is (0.978744 − 1.339118) = −0.360374 .
In 👄 a unique
circumstance, this strategy can make sense. Suppose the gambler possesses exactly 63
units but desperately needs a total 👄 of 64. Assuming q > 1/2 (it is a real casino) and
he may only place bets at even odds, 👄 his best strategy is bold play: at each spin, he
should bet the smallest amount such that if he wins 👄 he reaches his target immediately,
and if he does not have enough for this, he should simply bet everything. Eventually 👄 he
either goes bust or reaches his target. This strategy gives him a probability of
97.8744% of achieving the goal 👄 of winning one unit vs. a 2.1256% chance of losing all
63 units, and that is the best probability possible 👄 in this circumstance.[2] However,
bold play is not always the optimal strategy for having the biggest possible chance to
increase 👄 an initial capital to some desired higher amount. If the gambler can bet
arbitrarily small amounts at arbitrarily long odds 👄 (but still with the same expected
loss of 10/19 of the stake at each bet), and can only place one 👄 bet at each spin, then
there are strategies with above 98% chance of attaining his goal, and these use very
👄 timid play unless the gambler is close to losing all his capital, in which case he does
switch to extremely 👄 bold play.[3]
Alternative mathematical analysis [ edit ]
The
previous analysis calculates expected value, but we can ask another question: what is
👄 the chance that one can play a casino game using the martingale strategy, and avoid the
losing streak long enough 👄 to double one's bankroll?
As before, this depends on the
likelihood of losing 6 roulette spins in a row assuming we 👄 are betting red/black or
even/odd. Many gamblers believe that the chances of losing 6 in a row are remote, and
👄 that with a patient adherence to the strategy they will slowly increase their
bankroll.
In reality, the odds of a streak 👄 of 6 losses in a row are much higher than
many people intuitively believe. Psychological studies have shown that since 👄 people
know that the odds of losing 6 times in a row out of 6 plays are low, they incorrectly
👄 assume that in a longer string of plays the odds are also very low. In fact, while the
chance of 👄 losing 6 times in a row in 6 plays is a relatively low 1.8% on a single-zero
wheel, the probability 👄 of losing 6 times in a row (i.e. encountering a streak of 6
losses) at some point during a string 👄 of 200 plays is approximately 84%. Even if the
gambler can tolerate betting ~1,000 times their original bet, a streak 👄 of 10 losses in
a row has an ~11% chance of occurring in a string of 200 plays. Such a 👄 loss streak
would likely wipe out the bettor, as 10 consecutive losses using the martingale
strategy means a loss of 👄 1,023x the original bet.
These unintuitively risky
probabilities raise the bankroll requirement for "safe" long-term martingale betting to
infeasibly high numbers. 👄 To have an under 10% chance of failing to survive a long loss
streak during 5,000 plays, the bettor must 👄 have enough to double their bets for 15
losses. This means the bettor must have over 65,500 (2^15-1 for their 👄 15 losses and
2^15 for their 16th streak-ending winning bet) times their original bet size. Thus, a
player making 10 👄 unit bets would want to have over 655,000 units in their bankroll (and
still have a ~5.5% chance of losing 👄 it all during 5,000 plays).
When people are asked
to invent data representing 200 coin tosses, they often do not add 👄 streaks of more than
5 because they believe that these streaks are very unlikely.[4] This intuitive belief
is sometimes referred 👄 to as the representativeness heuristic.
In a classic martingale
betting style, gamblers increase bets after each loss in hopes that an 👄 eventual win
will recover all previous losses. The anti-martingale approach, also known as the
reverse martingale, instead increases bets after 👄 wins, while reducing them after a
loss. The perception is that the gambler will benefit from a winning streak or 👄 a "hot
hand", while reducing losses while "cold" or otherwise having a losing streak. As the
single bets are independent 👄 from each other (and from the gambler's expectations), the
concept of winning "streaks" is merely an example of gambler's fallacy, 👄 and the
anti-martingale strategy fails to make any money.
If on the other hand, real-life stock
returns are serially correlated (for 👄 instance due to economic cycles and delayed
reaction to news of larger market participants), "streaks" of wins or losses do 👄 happen
more often and are longer than those under a purely random process, the anti-martingale
strategy could theoretically apply and 👄 can be used in trading systems (as
trend-following or "doubling up"). This concept is similar to that used in momentum
👄 investing and some technical analysis investing strategies.
See also [ edit ]
Double or
nothing – A decision in gambling that will 👄 either double ones losses or cancel them
out
Escalation of commitment – A human behavior pattern in which the participant takes
👄 on increasingly greater risk
St. Petersburg paradox – Paradox involving a game with
repeated coin flipping
Sunk cost fallacy – Cost that 👄 has already been incurred and
cannot be recovered Pages displaying short descriptions of redirect targets
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A primeira semana da nova Champions League chegou ao fim na quinta-feira, com Barcelona e Arsenal bwin australian open ação.
Mas nenhum dos 💋 clubes estelares de quinta-feira conseguiu começar com uma vitória, um caindo para a derrota decepcionante e o outro exigindo heroísmo 💋 da guarda do goleiro.
Aqui estão os principais resultados dos jogos de quinta-feira.
Tendo vencido todos os cinco jogos na La Liga, 💋 a era Hansi Flick de Barcelona atingiu seu primeiro solavanco nas estradas como o
Blaugrana
Foram bem derrotados pelo AS Monaco.
Um cartão 💋 vermelho para Eric García por um último homem profissional com falta bwin australian open Takumi Minamino deu ao finalista da Liga dos 💋 Campeões de 2004 uma grande vantagem, e a equipe francesa aproveitou.
"Hoje, você vê essa situação com um cartão vermelho depois 💋 de 11 minutos mudou nosso plano para a partida. Temos que aceitar isso", disse Flick aos repórteres após o jogo 💋 ”.
As coisas passaram de mal a pior para Barça aos 16 minutos, quando Maghnes Akliouche deu à equipe da casa 💋 o lead com um excelente golpe e chegou na direita batendo bwin australian open Marc-André ter Stegen.
O Barcelona reagiu pouco antes da 💋 meia hora marcada quando Lamine Yamal marcou uma cópia quase bwin australian open carbono do gol de Akliouche no outro extremo. Foi 💋 o primeiro objetivo dos 17 anos na Champions League depois que seu aparelho atraente contra Girona, durante a semana passada
Mas 💋 era a estrela bwin australian open ascensão do próprio Monaco, George Ilenikhena que viria às manchetes. Com o time da casa 💋 colocando pressão constante no atacante nigeriano marcou um vencedor aos 71 minutos e bateu Stegen na bwin australian open próxima postagem novamente!
Ao 💋 fazê-lo, o jogador de 18 anos tornouse no mais jovem marcador da Liga dos Campeões do Mónaco a marcar golos 💋 na temporada 2024/17 e bateu os recordes anteriores estabelecidos por Kylian Mcbappé.
"Tivemos chances, mas elas mereciam vencer", disse Flick."Eu falei 💋 para a equipe levantar as cabeças porque estão decepcionadas e temos que nos concentrar no domingo (no Villarreal), nosso próximo 💋 jogo: é hora de recuperar-se! Espero bem ter os jogadores voltando com muita energia."
Após a vitória por 3-1 do Liverpool 💋 sobre o Milan e Manchester City 0-0 empate com Inter, Liga dos Campeões viu seu terceiro confronto anglo - italiano 💋 da semana como Atalanta hospedado Arsenal.
Com Atalanta tendo perdido três dos seus primeiros cinco jogos, e Arsenal chegando no verso 💋 de uma vitória contra o rival local Tottenham Hotspur.
Em vez disso, o herói favorito necessário do goleiro David Raya para 💋 manter a partida sem resultados.
A Afteralanta foi premiado com uma penalidade pela falta de Thomas Partey bwin australian open Éderson no início 💋 do segundo semestre, Raya manteve fora o esforço Mateo Retegui's um excelente salvar à bwin australian open direita antes tirar-se notável segunda 💋 salvo a esquerda para afastar cabeça da reboco.
O eventual empate 0-0 pode não ter sido o resultado que Arsenal estava 💋 procurando, mas poderia ser muito pior se ele fosse seu goleiro.
"Precisávamos de dois dos melhores salvamentos que vi na minha 💋 carreira, desde David para ficar no jogo", disse o gerente Mikel Arteta. “O trabalho com Iaki sabia (que caminho seguir) 💋 e eles fizeram a tarefa do primeiro foi inacreditável; mas ao segundo eu pensei bwin australian open bolar um pouco mais cedo.”
"Ele 💋 está mostrando o tipo de pessoa que é e seu papel como líder na equipe. Isso É muito importante."
Florian Wirtz 💋 levou apenas cinco minutos de futebol da Liga dos Campeões para conseguir seu primeiro gol na competição.
A estrela do Leverkusen 💋 parecia uma classe acima da anfitriã Feyenoord, disparando um tiro de pé esquerdo na borda para o canto inferior e 💋 levando os homens a Xabi Alonso ao começo perfeito.
Depois que Álex Grimaldo dobrou a liderança de Leverkusen, Wirtz apareceu novamente 💋 no 36o
th
Minuto, a voleiar um Jeremie Frimpong cruzou o guarda-redes Timon Wellenreuther.
O objetivo de Wellenreuther pouco antes do intervalo terminar 💋 a derrota.
"Hoje tivemos um bom começo e estou, claro que feliz por ter conseguido marcar dois golos", disse Wirtz ao 💋 UEFA.com: «Foi uma noite muito boa; acima de tudo acho a vitória sobressalente com esta clara conquista.»
Wirtz juntou-se a Harry 💋 Kane, Michael Olisse e Jamie Gittens como os únicos jogadores que marcaram mais de um golo na Liga dos Campeões 💋 nesta semana; todos eles jogam para clubes alemães.
O formato da recém-renovado Champions League, que segue um modelo suíço no qual 💋 todos os 36 participantes estão organizados bwin australian open uma tabela de liga única foi projetado para criar mais jogos entre 💋 as principais equipes europeias antes na competição.
No entanto, muitos fãs nas redes sociais não ficaram convencidos das mudanças após uma 💋 série de jogos decepcionante durante a semana da abertura.
A revanche da final de 2024 entre Manchester City e Inter Milan 💋 foi o destaque do round, mas terminou bwin australian open um empate por 0-0 no meio dos avisos feitos pelo meia Rodri 💋 que a nova equipe –que adiciona dois jogos extras ao cronograma das equipes poderia levar os jogadores à greve para 💋 protestar contra excessos.
Com esse 0-0 sendo o único jogo entre duas equipes do pote de maconha uma esta semana, os 💋 fãs também chamaram a persistência percebida dos incompatibilidades Entre as equipas muito fortes e relativamente fraca.
O exemplo mais claro de 💋 um abismo bwin australian open qualidade veio na vitória do Bayern Munique por 9-2 sobre o Dinamo Zagreb, no qual os próprios 💋 fãs da empresa seguravam banners com as palavras "muito jogos", “muita injustiça" e 'demasiado desequilíbrio financeiro' junto a uma faixa 💋 maior que dizia:
Os fãs nas redes sociais tendiam a concordar com uma postagem no X, anteriormente conhecido como Twitter: "Este 💋 novo formato da Liga dos Campeões é tão estranho e difícil de obter". Outro escreveu que poderia perder cinco jogos. 💋 Em seguida vencer Slovan Bratislava; Sturm Graz and Dinamo Zagreb (ainda não disponível) bwin australian open nove pontos o leva até ao 💋 RO16."
Com sete semanas de jogo restantes antes das fases eliminatórias, resta saber como o novo formato se desenrolará. No entanto 💋 medida que passa do tempo os fãs podem ficar acostumados a tudo isso
Mesmo que não seja, todos os olhos 💋 certamente estarão na próxima jornada quando a Liga dos Campeões retornar bwin australian open 1o de outubro.
Home vs. Away (vencedores bwin australian open negrito)
Crvena 💋 Zvezda (Estrela Vermelha) 1-2
Benfica
Feyenoord 0-4
Bayer Leverkusen
Stade Brestois
2-1 Sturm Graz
Atalanta 0-0 Arsenal
Atlético Madrid
2-1 RB Leipzig
AS Monaco
2-1 Barcelona
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homens ou mulheres. A equipe masculina, ou o Reggae Boyz, conseguiu ganhar um jogo,
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